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历经三十余载的潜心研究，九位杰出的数学家携手跨越了学术的崇山峻岭，通过五篇累计超过八百页的深邃论文，终于迎来了数学史上的一大盛事——几何朗兰兹猜想的壮丽证明！

这一里程碑式的成就，正是朗兰兹纲领几何化版本的璀璨绽放。朗兰兹纲领，作为现代数学研究的璀璨明珠，被誉为“数学的大统一理论”，它深刻地揭示了数论、代数几何与群表示论这三个看似独立却又紧密相连的数学分支之间的内在关联。

费马大定理的完全证明，便是朗兰兹纲领威力的一次绝佳展示。安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles）教授通过对数论朗兰兹关系中一小部分函数的精妙证明，成功解锁了困扰数学界长达三个世纪的古老谜题。

而几何朗兰兹猜想，作为朗兰兹纲领在几何领域的璀璨延伸，自上世纪80年代被提出以来，便承载着数学家们将数论智慧融入几何世界的梦想。它如同一座桥梁，不仅让数论的方法与概念在几何的舞台上大放异彩，也为几何问题提供了新的求解路径。

该猜想的成功证明，无疑为数学与物理领域的众多未解之谜开辟了新的探索路径。无论是量子场论的深奥探索，还是弦理论的微妙构建，几何朗兰兹猜想都为其提供了宝贵的思路与工具。

菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨（Peter Scholze）对此赞不绝口，将这一成就誉为“三十年努力的巅峰”。而几何朗兰兹纲领的奠基人之一，亚历山大·贝林森（Alexander Beilinson）更是激动地表示：“这个证明美得令人窒息，无疑是同类证明中的巅峰之作！”

在这一伟大征程中，丹尼斯·盖茨戈里（Dennis Gaitsgory）与山姆·拉斯金（Sam Raskin）作为领军人物，带领着包括中国学者陈麟在内的九人精英团队，共同攀登了这座数学的高峰。陈麟教授，作为清华大学丘成桐数学科学中心的杰出青年才俊，其辉煌的学术生涯早在15岁摘得IMO金牌时便已初露锋芒。

几何：朗兰兹纲领的完美闭环

时间回溯至1967年，年仅30岁的普林斯顿大学教授罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands）以一封长达17页的手写信，向“数学的罗塞塔石碑”的缔造者安德烈·韦尔（André Weil）描绘了他的宏伟蓝图。这封信，不仅标志着朗兰兹纲领的诞生，更预示着数学界一场深刻变革的到来。

（注：“罗塞塔石碑”在此为喻，意在强调安德烈·韦尔提出的数学领域间类比的重要性，它如同古埃及的罗塞塔石碑一样，为解读不同数学分支间的联系提供了关键线索。）

朗兰兹在信中大胆预言，在数论与函数域的广阔天地中，存在着类似于傅里叶分析那样深刻的推广。傅里叶分析，这一将复杂波形转化为平滑振荡三角函数波的技术，不仅是现代电信、信号处理等领域的基石，更为朗兰兹构建数学统一框架提供了灵感。

朗兰兹纲领正是通过在这三个数学分支间建立类似“对应关系”的桥梁，实现了它们之间的无缝连接。在这一框架下，“波”与“频谱”的概念被赋予了新的数学意义：特殊函数构成了“波”的海洋，而代数对象则如同“频谱”一般，精准地标记着“波”的频率与特性。

正是这样的统一视角，让朗兰兹纲领成为了一把解锁数学难题的金钥匙。它不仅让许多传统数论问题得以转化为表示论或其他领域的问题，从而找到新的解决途径，更在费马大定理等经典难题的证明中发挥了关键作用。此外，朗兰兹纲领的思想与方法还深刻影响了物理学等其他学科的发展，为量子场论和弦理论等前沿领域的研究提供了宝贵的启示。

而几何朗兰兹猜想，作为朗兰兹纲领中最为璀璨的一环，其成功证明不仅为数学界带来了前所未有的震撼与喜悦，更为未来的数学研究开辟了无限可能。

在证明几何朗兰兹猜想的壮丽征途中，核心策略如同一座灯塔，指引着数学家们穿越未知的数学海洋。他们致力于构建一个等价桥梁，将代数曲线X上G-丛的D-模范畴与朗兰兹对偶群 ^的局部系统Ind-Coh范畴紧密相连。这一等价关系的建立，不仅是数学抽象概念的碰撞，更是对几何与代数深刻联系的洞察。

时间回溯至2013年，丹尼斯·盖茨戈里以其敏锐的直觉，勾勒出了几何朗兰兹猜想证明的初步蓝图。然而，这座宏伟建筑的基石——众多中间结果的证明，尚待时日。随后的数年间，丹尼斯与他的合作者们披荆斩棘，逐一攻克这些难题，为最终的胜利奠定了坚实的基础。

2020年，丹尼斯的思维火花再次闪耀，他开始深入探索每个特征层对“白噪声”的独特贡献。这一创新视角，灵感源自傅里叶变换中正弦波的角色，巧妙地将庞加莱层引入朗兰兹猜想的框架之中。

2022年的春天，山姆·拉斯金及其学生乔阿基姆·费尔格曼的突破性发现，如同春风化雨，为证明工作注入了新的活力。他们证明了每个特征层都以某种精妙的方式，为“白噪声”的构成添砖加瓦。这一关键进展，让丹尼斯信心倍增，预示着胜利的曙光即将来临。

自2023年起，丹尼斯、山姆及其七位杰出的合作者，携手向几何朗兰兹猜想的最终胜利发起了冲锋。经过无数个日夜的辛勤耕耘，他们终于完成了这项史诗般的任务。五篇累计超过八百页的论文，如同五座巍峨的丰碑，矗立在数学史的长河之中，见证了这一伟大时刻的到来。

首篇论文聚焦于函子（functor）的精心构造，在特征为零的优越环境下，成功地从自守领域跨越至谱的彼岸，构建了几何朗兰兹函子LG，并证明了其等价性。这一成就，如同在两座数学山峰之间架起了一座坚固的桥梁，让几何朗兰兹猜想的轮廓逐渐清晰。

第二篇论文则深入探索了Kac-Moody定位与全局的微妙互动，进一步巩固了LG函子作为等价性函子的地位。这一发现，不仅加深了数学家们对几何朗兰兹猜想的理解，更为后续的研究开辟了新的道路。

第三篇论文作为连接已知与未知的桥梁，不仅将等价性结果拓展至更广泛的领域，还通过Kac-Moody局部化技术，揭示了几何朗兰兹函子与常数项函子之间的和谐共舞。同时，对可约谱参数下几何朗兰兹猜想兼容性的证明，为攻克不可约谱参数下的难题奠定了坚实的基础。

第四篇论文则聚焦于Ambidexterity定理的辉煌证明。这一定理犹如一把钥匙，打开了通往LG函子等价性证明的大门。它表明LG-cusp的左伴随与右伴随在特定条件下是同构的，这一发现对于证明LG的等价性具有至关重要的意义。

最后，第五篇论文将上述所有成果汇聚一堂，以雷霆万钧之势将几何朗兰兹猜想推广至一般情况。这一里程碑式的成就，不仅标志着长达三十余年努力的圆满结束，更为数学界带来了前所未有的震撼与喜悦。

在这场跨越时代的数学盛宴中，哈佛大学教授丹尼斯·盖茨戈里与耶鲁大学教授山姆·拉斯金无疑是耀眼的双子星。然而，他们并非孤军奋战，研究团队中还包括了来自世界各地的杰出数学家。其中，中国学者陈麟的参与尤为引人注目。作为清华大学丘成桐数学科学中心的助理教授，陈麟不仅在数学领域展现出了非凡的才华，更在几何朗兰兹纲领的研究中留下了深刻的印记。

陈麟的成长历程，是天赋与努力的完美结合。从少年时期的数学奥林匹克金牌得主，到哈佛大学博士毕业并荣获优秀奖学金，他的每一步都走得坚定而扎实。在丹尼斯的引领下，他深入几何朗兰兹纲领的研究领域，为证明几何朗兰兹猜想贡献了自己的力量。未来，他将继续在数学的道路上探索前行，为攀登更高的数学高峰而不懈努力。

此外，中国数学界对朗兰兹纲领的关注和投入也令人瞩目。北大黄金一代的恽之玮、张伟、袁新意、朱歆文等学者，正以他们的智慧和汗水，为这一宏伟的数学蓝图添砖加瓦。可以预见，在未来的日子里，中国数学学者将在朗兰兹纲领的研究中取得更多令人瞩目的成就。

参考文章：

1. 几何朗兰兹猜想被解决！历时30年、证明论文达800余页，中国学者陈麟系主要作者
2. 几何朗兰兹猜想被解决！论文达800余页，中国学者陈麟系主要作者
3. 数学大统一理论里程碑进展：几何朗兰兹猜想获证明

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在科技界掀起新一波浪潮的OpenAI，近日突发重磅新模型——GPT-4o mini，这款模型不仅能力直逼原版GPT-4，更在价格上实现了惊人的飞跃，每百万输入tokens仅需15美分（约合1.09元人民币），每百万输出tokens也仅60美分（约合4.36元人民币），相比以往模型，成本大幅降低了一个数量级。

随着GPT-4o mini的登场，昔日的明星模型GPT-3.5在ChatGPT应用中已正式退役，取而代之的是更为强大且经济的GPT-4o mini，免费用户现已能直接体验这一升级。同时，配套的API也已全面开放，支持高达128k的输入tokens（涵盖图像与文本），并突破性地支持16k输出tokens，远超近期竞争对手Claude 3.5 Sonnet的8k输出能力。

GPT-4o mini凭借其低成本、低延迟的特性，被官方强烈推荐用于多种高需求场景，包括链式或并行化模型调用、处理大规模上下文输入（如完整代码库或对话历史）以及实现快速、实时的文本交互（如客服系统）。更令人振奋的是，未来几天内，用户还将有机会参与GPT-4o mini的微调过程，进一步定制模型以满足个性化需求。

OpenAI CEO在回顾过去时提到，仅仅两年前，市场上最顶尖的模型还是GPT-3的text-davinci-003版本，不仅性能远不及今日，成本更是高达现在的100倍，这标志着大模型成本在短短两年内实现了99%的惊人降幅。

GPT-4o mini不仅在价格上占据优势，其性能同样不容小觑。在多项文本与多模态推理学术基准测试中，该模型均展现出超越其他小模型的实力，特别是在数学与代码能力上表现卓越，仅略逊于GPT-4o完整版。此外，GPT-4o mini还在函数调用方面展现出强大性能，为用户提供了更为全面的解决方案。

在价格方面，GPT-4o mini相较于竞争对手如Anthropic的Claude 3 Haiku和谷歌的Gemini Flash，更是拥有40%-60%的价格优势。这一优势使得GPT-4o mini在市场中更具竞争力，也进一步巩固了OpenAI在AI领域的领先地位。

值得一提的是，GPT-4o mini已在多个实际应用场景中展现出其强大实力。通过与Ramp和Superhuman等公司的合作，该模型在“从文件中提取结构化数据”和“对邮件通信记录生成高质量回复”等任务中均表现出色，明显优于GPT-3.5 Turbo。此外，GPT-4o mini还曾在化名GPT-mini的情况下登上大模型竞技场供网友测试检验，并获得了6000+用户投票的认可，其表现与GPT-4 Turbo不相上下。

在安全性方面，GPT-4o mini也进行了全面升级。作为首个应用OpenAI指令层次结构方法的模型，该模型在抵抗越狱、Prompt注入和系统Prompt提取等方面表现出色。尽管在简单测试中难以通过一句话套出系统提示词，但在面对复杂越狱手段时仍需进一步加强防护。

此外，OpenAI CEO还透露了一个令人期待的消息：GPT-4o的实时语音模式《Her》将于本月晚些时候进入Alpha测试阶段，并将在稍晚时间正式发布。这一消息无疑为AI语音交互领域带来了新的期待。

然而，也有部分网友对GPT-4o mini的发布表示略感失望，他们更期待的是GPT-5的到来。不过，从GPT-4o mini的表现来看，它无疑已经为OpenAI的下一代模型奠定了坚实的基础。

在同一天内，DeepSeek与Mistral也分别取得了新进展。DeepSeek开源了DeepSeek-V2-0628版本，成功摘得大模型榜单上开源大模型的头名；而Mistral则推出了与英伟达合作开发的12B小模型，同样支持高达128K的上下文长度。这些进展无疑为AI领域注入了新的活力与可能。

那我们该怎么使用GPT4o呢？教程在我的宝藏小站其他文章~

参考文章：

1. 报告丨清华大学：从ChatGPT到AIGC发展（近200页PPT）
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5. 36氪研究院｜2024年AIGC行业研究：多模态大模型与商业应用

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OpenAI于2024年7月18日凌晨发布了最新的技术研究——Prover-Verifier-Games（简称“PVG”），旨在解决AI模型的“黑盒”问题，提升其推理和输出准确性。该技术通过引入一种新的训练框架，使用小模型来验证和监督大模型的输出，从而提高整体的输出准确率和可控性。

具体来说，PVG框架包含两个主要组成部分：证明者（Prover）和验证者（ Verifier）。其中，证明者通常是一个更强大的模型，如GPT-4；而验证者则是一个相对较小且能力较弱的模型，如GPT-3。在这一过程中，证明者需要生成易于验证的解决方案，而验证者则负责检查这些解决方案的正确性。

这种博弈论框架不仅提高了语言模型输出的可读性和可验证性，还使得这些输出更容易被人类理解和评估。此外，这种方法也增强了模型的安全性和准确性，特别是在法律、金融和营销等对安全性和准确性要求极高的领域中。

实际上，PVG（Proof-Verifier Game）技术理念在2021年8月的一篇学术论文中已初露端倪，激发了OpenAI的创新灵感。这一技术框架根植于博弈论，通过模拟证明者（Prover）与验证者（Verifier）之间的交互博弈，旨在提升机器学习模型生成内容的准确性和质量。

在此机制下，证明者的核心职责是创造性地生成内容，而验证者则扮演着批判性评估的角色，负责判断这些内容的真实性与合理性。PVG的核心策略在于通过多轮次的迭代训练，不断强化证明者与验证者的能力。每轮训练中，验证者首先运用监督学习技术，从历史证明者生成的内容样本中，学习如何准确识别正确信息，增强辨别能力。

随后，证明者则借助强化学习策略，不断优化其生成策略，力求生成的内容既准确无误，又能有效说服验证者接受。这一过程中，证明者与验证者形成了紧密相依的关系，证明者需不断提升生成内容的说服力，而验证者则需持续精进其判别能力。

为了进一步提升训练效率与效果，OpenAI在PVG框架内引入了两种强化类型的证明者角色：有益证明者（Helpful Prover）与狡猾证明者（Sneaky Prover）。前者致力于生成既正确又具说服力的内容，以正面促进学习过程；后者则试图通过生成错误但极具迷惑性的内容，挑战验证者的判断力，从而促使验证者发展出更高的鲁棒性和准确性。

以实际案例为例，当面对复杂问题时（如涉及多步骤逻辑推理的数学问题），GPT-4等先进模型能够给出准确答案（如肖娜父亲年龄的解答），而验证者模型（如GPT-3）则需经历多轮验证，从阿莉亚的年龄出发，逐步推导出肖娜及其父亲的年龄，确保每一步推理的正确性。

此外，OpenAI还引入了“可检查性训练”方法，通过交替训练验证器与证明者模型，不仅增强了验证器对过往证明者生成解决方案的监督预测能力，还促使证明者根据验证器的反馈和解决方案的正确性进行持续自我优化。随着训练轮次的增加，验证器对狡猾证明者生成的错误信息的抵抗力显著增强，同时有益证明者生成的内容也变得更加清晰易懂，更贴近人类理解模式。

然而，值得注意的是，高效训练验证者模型依赖于大量真实、准确的标签数据，以确保其辨别能力的精准性。若验证模型本身存在偏差，仍有可能导致验证结果的非预期输出。因此，在推进PVG技术发展的过程中，持续优化数据质量与验证机制同样重要。

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Sora是OpenAI推出的革命性视频生成模型，能根据文本或图像生成长达60秒的视频。它结合了扩散模型和Transformer技术，提供高质量视频生成，应用广泛，影响深远。尽管存在技术局限和监管挑战，Sora仍展现出巨大的商业潜力和行业影响力，预示着视频制作领域的未来趋势。

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Anthropic，作为OpenAI的强劲对手，于本周二正式推出了专为Android用户设计的Claude应用程序，旨在通过拓宽Claude的接入平台，吸引用户从ChatGPT转向其服务。这款Android应用承袭了五月问世的iOS版本的设计理念，用户无需支付任何费用即可体验到Anthropic顶尖AI模型——Claude 3.5 Sonnet的强大功能，并可选择升级为Anthropic的Pro或Team订阅计划以享受更多高级服务。

应用内，用户能够无缝同步跨设备的Claude对话记录，还能即时上传图片或文档，利用应用程序内置的实时图像分析功能进行深度处理。尤为值得一提的是，Claude Android版还集成了实时语言翻译特性，Anthropic寄望这一功能成为吸引用户频繁使用应用的强大诱因。此外，该应用还为企业客户量身打造了移动访问权限，使他们能够随时随地管理自己的Claude账户。

然而，尽管Anthropic自信其AI技术能与OpenAI及Google的产品分庭抗礼，市场反应却揭示了其在吸引大众用户方面的挑战。回顾Claude iOS应用的初次亮相，其市场接受度较为温和，首周全球下载量仅为157,000次，相比之下，ChatGPT iOS应用在发布的前五天便实现了480,000次的安装量，这一数据对比凸显了Anthropic在消费者市场中的推广难题。

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